中国人有一个非常奇怪的习惯，就是认为学习数学一定要大量做题，这样才能练好基本功。我想，这种想法本质上还是和中国人的小农意识有关。

中 国人内心的想法一般都比较世俗，脑子里都是养家糊口之类的土著观念，凭借这样的精神层次和思维水平显然是学不进现代数学的。于是，中国人就想出了一个瞒天 过海的拙劣办法——熟能生巧。既然中国人看不懂抽象的概念，那就用例子来代替概念，然后自欺欺人自以为看了几个例子就弄懂了概念；既然中国人看不懂高端的 理论，那就用练习来代替理论，自以为做了几个数学民工出的习题就理解了理论的精要，实则一窍不通。
因为老一辈土著中国人的习惯，这种读书做题的民 工风气也被传承到现在，不少学生每读一本书就要追求习题全做，最后一辈子读的书还没有人家一年来得多，也就只能在老鼠洞里做研究了，这种人永远也无法看到 现代数学的面貌。应该注意到，恰恰是最强调做题的中国人，写出了世界上最为拙劣的论文。恰恰是最强调做题的数学民工，现在在昧着良心做考研培训骗钱。
大家都知道，数学最重要的就是观念，只要观念是对的，静下心来慢慢算总能得到结果。如果连观念都没有，一辈子只能靠自己老板的观念做研究，那么即使你算得再快再准确，等你老板挂了你还能做出什么呢？可惜的是，数学民工沉溺于机械的操作是不会理解这些的。
20 世纪最伟大的数学家Atiyah在1963年证明了指标定理，然而在1960年他还不知道什么是椭圆算子的指标。那么，为什么是基础这么差的Atiyah 证明了指标定理，而不是那些“基础扎实”的分析学家证明了此定理呢？我想，按照现在不少小研究生的逻辑，假如他们在1960年碰到了Atiyah，可能又 要不知天高地厚地上去嘲笑一番了。事实上，考虑椭圆算子的指标，它可以看做余切丛[;T^\ast M;]的紧支K群[;K_c(T^\ast M);]的一个元素，用Thom isomorphism和inclusion诱导的direct image可以把指标等同于一点的K群[;K(pt);]的元素，从而指标是一个整数，并且是拓扑不变量。这就是Atiyah-Singer指标定理，一 个对于了解K-theory的人来说是trivial而对于目光狭隘的分析学家来说是深不可测的定理。
20世纪最伟大的物理学家Einstein 创造了广义相对论，而按照Hilbert的说法，Gottingen任何一个小孩都要比Einstein懂更多的4维几何。那么，为什么不是那些基础扎实 的Gottingen象牙塔里的数学家们，而是Einstein创造了GR呢？是他将场等价于场的作用效果的观念，而不是那些小儿科的张量运算使他成为永 恒。
现代数学物理的飞速发展，为我们见证了唯一一种正确的学习数学的方式：通过寻找各个分支之间的联系来理解数学，而不是通过做大量无聊的垃圾习 题来理解数学。很明显，前者要求你知道更多，只有你知道更多，你才有能力理解更多。所以你要做的事情就是阅读，阅读，阅读···然后在某一天早晨轻松地发 现所有的疑惑都烟消云散，那些曾经阅读过的艰涩难懂知识忽然之间都融进了自己的血液。后者则完全是知识的死亡。
物理学家Witten懂的数学是除 Atiyah之外任何一个数学家的好几倍，可是从没听说过他做什么狗屁习题。物理学家们掌握数学的速度飞快，因为他们根本不看证明。事实上，许多人都已经 发现，对于简单的证明，不看就能轻松写出，对于那些困难的证明，即便认真看过也会忘掉细节。更重要的是，那些被证明的定理除去极个别之外，研究它们的证明 既不会有新的研究成果出现，也不会对你理解数学有任何帮助，可以说就是一坨废渣。明明大多数人都清楚这一点，可是大家就是不敢捅破这层窗户纸，实在是别有 用心的行为。物理学家教会了我们学习数学的方式：研究极个别重要的证明，果断放弃大多数毫无意义不知所谓的证明。最重要的是，在开始严肃学习之前，要了解 领域的全貌。
Kontsevich懂的物理是除Atiyah之外任何一个数学家的好几倍，可是从没有听说过他炫耀自己做了什么狗屁习题。他获得菲 尔兹奖的文章，即关于一点的Gromov-Witten不变量的所谓的Witten conjecture，其证明是不严谨的，可是并不影响他杰出的观念。不过，我认为理想的境界是：学的时候可能未必严格，但是写出来的文章是完全严格的。 做到这一点需要耐心和热情，慢慢算，必要的时候向技术达人请教，不能浮躁。
传奇的Grothendieck，其使用数学语言的能力是无与伦比的， 可是众所周知他肯定不会去做下三滥为了自慰出的所谓习题。这说明了一个简单的道理：即假如你真的理解了理论，那么即便没有任何例子也决不会犯错，尤其是像 projective scheme的上同调维数小于等于[;\mathbb{P}^n;]的上同调维数这种2B错误，以及horizontal lift跟pullback都分不清这种民科错误。学数学就是学习使用数学语言，假如你真的了解一门语言，你就能说得滴水不漏，而且精彩绝伦。
做 数学的目标是为了理解数学，这同样应该是学习数学的目标。那些数学民工为做习题找到的冠冕堂皇的理由不也仅仅是有助于概念的理解吗？假如你真的在从正确的 角度看待数学，所有的理论都是自然的，它们有简单的motivation，进一步发展则会碰到些许技术困难。最后，我们的目标是把它们拼接到一起。真理， 也在这个过程中显现。所以，很多时候我不明白为什么中国人不做习题就理解不了数学，没有方向就研究不了学问。
这些年学习数学的经历使我发现，除了Atiyah的交换代数和Hartshorne的代数几何之外，其余书其实一概不必做任何习题。而上述两本书之所以需要做习题的原因是习题里面包含了很多新概念和新理论，是因为你可以学到新东西，不是因为你可以用它们来自慰。
说 这么多并不代表我走在正确的路上。对于数学，我有洁癖，本能地排斥任何不严谨的学习方式。事实上，我看论文的时候，总是试图理解每一句话，check每一 个公式，这导致我效率低下，知识狭隘。不过，我很清楚最有效率的方式是怎样的，并且希望说出这些事实可以有助于那些还没有沦为数学民工的人。